解三角形

解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。

解三角形，常用到正弦定理和余弦定理和面积公式等。

定义

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

意义

传统的平面几何学通常只能讨论边与边、边与面积、面积与面积、角与角之间的数量关系，却无法讨论角和边、角和面积之间的数量关系。如果我们能够讨论角和边之间的数量关系，然后讨论边与面积之间的数量关系，我们就可以讨论角与面积之间的数量关系。对于角和边之间的定量关系，虽然我们也有诸如“30°的角所对的直角边为斜边的一半”这样的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所对的直角边为斜边的(根号3)/2倍，但这些都仅仅是针对“特殊值”加以讨论，从而很难推广到一般性（任意值）的讨论。

由平面几何知识可知，已知三角形的邻边a，b及其夹角C，根据“边角边定理”，第三边c完全确定。从而，我们可以利用带有a，b，C的表达式来表示c，即c＝f(a,b,C)。如何给出这个具体的表达式？数学上，通过定义三角函数，从而可以用含有角的表达式来表示边。解三角形其实就是利用三角函数来表示任意三角形中边与角的数量关系，于是可以求解出三角形中任意边的长度和任意角的大小。

解三角形，使许多特定几何问题的求解得以数量化。只要我们可以用式子表示出三角形边和角（或者边和面积）之间的数量关系，然后进行三角函数化简或恒等变形，就可以求解或者证明一些几何问题，从而避免许多繁琐的辅助线。并且，如何作辅助线并没有一套通用的法则，需要因题而异。对于某些特定条件的题目，作辅助线需要很高的洞察力。

三角函数在物理学、工程、技术等领域也有广泛的应用。直接用含有角度的公式来表示相关的物理参量，通常会很方便，具有较高的可实践性与可操作性，进而针对许多具体的物理量只需一个公式就可以求解。

常用定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，R是此三角形外接圆的半径）。

变形公式

（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c

（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB

（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

面积公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h（原始公式）

cosC=(a² b²-c²)/2ab

cosB=(a² c²-b²)/2ac

cosA=(c² b²-a²)/2bc

三角形△ABC的内角平分线的性质定理

AD为角A平分线与BC交点连线则AB/AC=BD/DC

余弦定理

a²=b² c²-2bccosA

b²=a² c²-2accosB

c²=a² b²-2abcosC

注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。

海伦-秦九韶公式

p=(a b c)/2（公式里的p为半周长）

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

已知三条中线求面积

方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc，

则S=√[(Ma Mb Mc)*(Mb Mc-Ma)*(Mc Ma-Mb)*(Ma Mb-Mc)]/3；

方法二：已知三边a，b，c；

则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a b c)/2；

形状判断

b² c²=a² cosA=0 A=90° 直角

b² c²<a² cosA<0 A>90° 钝角

b² c²>a² cosA>0 A<90° 锐角※a边必须是最大边

勾股定理

勾股定理只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）

a² b²=c²，其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。

勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如：3，4，5。他们分别是3，4和5的倍数。

常见的勾股弦数有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；10，24，26等等。

解三角形

正弦定理

已知条件：一边和两角（如a、B、C,或a、A、B）

一般解法：由A B C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时，有一解。

余弦定理

已知条件：两边和夹角(如a、b、C）

一般解法：由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A B C=180°求出另一角，在有解时有一解。

已知条件：三边（如a、b、c）

一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A B C=180°，求出角C在有解时只有一解。

正弦定理（或余弦定理）

已知条件：两边和其中一边的对角（如a、b、A）

一般解法：由正弦定理求出角B，由A B C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C边，可有两解、一解或无解。（或利用余弦定理求出c边，再求出其余两角B、C）①若a>b，则A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有两解；③若a<bsinA则无解。