亨克时期
2009年4月，年仅16岁零341日的库尔图瓦就完成了比甲联赛的首秀。由于冬歇期足球俱乐部中两名门的离开，库尔图瓦进入亨克的一线队。在亨克效力时，库尔图瓦帮助球队赢得了2010-2011赛季比甲联赛冠军，这是克足球俱乐部时隔9年再度问鼎，而库尔图瓦也在这赛季第一次成为球队主力。库尔图瓦凭借2010-11赛季卓越的贡献（在40场联赛中仅失32球，且14场不失1球），当选比利时年度最佳比利时联赛守门员及亨克年度最佳球员两项殊荣。
马德里竞技时期
2011年7月，库尔图瓦从亨克转会至切尔西足球俱乐部，并与切尔西签约了一份为期5年的合同。加盟切尔西后，库尔图瓦随即被外借到马德里竞技足球俱乐部。在欧联杯马德里竞技对阵塞图巴尔的比赛中，库尔图瓦取代塞尔吉奥·阿森霍成球队的首发门将，这也是库尔图瓦首次代表马德里竞技上场。2011年11月底，在马德里竞技对阵皇马的比赛中，库尔图瓦吃到自己职业生涯中的第一面红牌，导致球队1-4落败。
2012年5月9日，库尔图瓦在欧联杯决赛对阵毕尔巴鄂竞技的比赛中不失一球，帮助球队3-0击败对手，赢得职业生涯中的第一项欧洲杯赛锦标。2012年8月，在欧洲超级杯对阵切尔西的比赛中，库尔图瓦再次帮助球队4-1大胜对手夺得冠军，夺得自己职业生涯的首座超级杯冠军。
2013年5月18日，在国王杯决赛中，库尔图瓦帮助马竞2-1击败皇家马德里，队史第10次国王杯封王，成为第四支冠军数上双的球队。2012-13赛季，库尔图瓦在马德里竞技的20场比赛中力保球门不失，创造了马竞队史连续不失球时间的新纪录，并夺得西甲联赛的萨莫拉奖。同时库尔图瓦帮助马竞以西甲联赛第三的成绩获得2013-14赛季的欧冠资格。
2013年6月22日，马德里竞技俱乐部官方宣布，库尔图瓦继续以租借的方式在马德里竞技效力一个赛季。
2014年5月18日，在西甲联赛最后一轮决定冠军归属的比赛中，库尔图瓦帮助球队1-1逼平巴塞罗那，夺得队史自1996年以后首座西甲冠军奖杯。5月26日，库尔图瓦跟随马竞在欧冠决赛中对阵皇家马德里。在伤停补时最后阶段，库尔图瓦镇守的城门被塞尔吉奥·拉莫斯头球攻破，比赛被拖入加时。最终在加时赛中马竞1-4告负，屈居欧冠亚军。
切尔西时期
库尔图瓦在为马竞效力了三个赛季后，回归至切尔西。2014年8月19日，在切尔西3-1战胜伯恩利的比赛中，库尔图瓦完成切尔西首秀。9月11日，切尔西官方网站上宣布，库尔图瓦已经与切尔西签订了一份为期五年的新合同，新合同将到2019年6月截止。库尔图瓦的周薪也将从3万英镑上涨到8万英镑。2014-15赛季，库尔图瓦帮助切尔西夺得了英超和英格兰联赛杯冠军。
2015年7月26日，在2015-16赛季第二场热身赛中，切尔西通过点球大战险胜上赛季欧冠淘汰自己的巴黎圣日耳曼，库尔图瓦的上佳表现成为切尔西获胜的功臣。库尔图瓦不仅扑出蒂亚戈·席尔瓦主罚的点球，自己还贡献了一粒点球，这也是库尔图瓦12岁后主罚的第一个点球。
2017年5月11日，在切尔西3-0击败米德尔斯堡的比赛中，库尔图瓦完成自己职业生涯第150次零封对手。5月22日，2016-17赛季英超联赛完成所有的比赛，切尔西最终夺得英超冠军。库尔图瓦代表切尔西在联赛中出场36次，并在其中16场比赛中零封对手，这16场比赛切尔西全部取得了胜利，也就是说库尔图瓦为切尔西至少贡献了48分。16场零封对手的数据让库尔图瓦最终夺得了2016-17赛季英超联赛的金手套。
2017-18赛季，库尔图瓦在英超出场35次；足总杯决赛帮助切尔西拿下冠军；在欧冠1/8决赛次回合切尔西对阵巴塞罗那的比赛中，库尔图瓦两度被里奥·梅西穿档破门，导致切尔西总比分1-4出局。
皇马时期
2018年8月9日，西甲皇家马德里足球俱乐部官方宣布从切尔西签下库尔图瓦，双方签约六年，转会费为3500万欧元。
2018年9月2日，在皇马主场4-1击败莱加内斯的西甲第三轮比赛中，库尔图瓦完成了皇马首秀。9月30日，在2018-2019赛季西甲联赛第7轮皇家马德里坐镇伯纳乌球场对战马德里竞技的比赛中，库尔图瓦两扑单刀神发挥，最终帮助皇家马德里主场0-0战平马德里竞技。11月8日，在2018-19赛季欧冠联赛小组赛皇家马德里5-0战胜比尔森胜利足球俱乐部的比赛中，库尔图瓦完成个人在皇家马德里的欧冠首秀。2018-19赛季，库尔图瓦代表皇家马德里出场35次，失球48粒，零封场10次，场均登场90分钟。
2019年9月22日，在2019-20赛季西甲联赛第5轮皇家马德里1-0战胜塞维利亚足球俱乐部的比赛中，库尔图瓦首发登场并全程无失球，这是库尔图瓦在2019-20赛季的首次零封。2019-20赛季，库尔图瓦帮助皇家马德里夺得球队历史上的第11个超级杯冠军、第34个西甲联赛冠军。该赛季西甲联赛，库尔图瓦出场34次，仅丢20球，零封场次达18场，库尔图瓦也凭借其优异表现第三次获得萨莫拉奖并入选西甲赛季最佳阵容。
2021年8月，库尔图瓦与皇马续约至2026年。9月，入选皇马公布的新赛季参加欧冠的40人名单。
2011年，库尔图瓦在比利时对阵法国的友谊赛中，便完成了比利时国家队的首秀，成为了比利时历史上最年轻的国家队门将。之后库尔图瓦成长为比利时国家队的首选门将，还帮助比利时闯入了2014年巴西世界杯的决赛圈，这是比利时自2002年以后，首次进入世界杯决赛圈。库尔图瓦在2014巴西世界杯上全勤出战，帮助比利时在小组赛中三战全胜，在16强淘汰赛中通过加时赛击败美国队，帮助比利时闯入八强。最终在1/4决赛中0-1负于阿根廷，遭到淘汰。
2016年法国欧洲杯，库尔图瓦打满了比利时全部的5场比赛，最终球队在1/4决赛1-3不敌威尔士。
2018年俄罗斯世界杯，库尔图瓦帮助比利时夺得第三名，个人获得世界杯金手套奖。库尔图瓦参加了比利时全部7场比赛，完成了27次扑救，成为整届世界杯扑救次数最多的门将；在1/4决赛比利时对阵巴西的比赛中，库尔图瓦单场完成了9次扑救，帮助球队2-1取胜。
▪ 2020 2019-20赛季西班牙足球甲级联赛冠军 皇家马德里 （获奖）
▪ 2019 2018-19赛季西班牙超级杯冠军 皇家马德里 （获奖）
▪ 2018 2017-18赛季英格兰足总杯冠军 切尔西 （获奖）
▪ 2018 2017-18赛季国际足联世界俱乐部杯冠军 皇家马德里 （获奖）
▪ 2017 2016-17赛季英格兰足球超级联赛冠军 切尔西 （获奖）
▪ 2015 2014-15赛季英格兰足球超级联赛冠军 切尔西 （获奖）
▪ 2015 2014-15赛季英格兰联赛杯冠军 切尔西 （获奖）
▪ 2014 2013-14赛季西班牙足球甲级联赛冠军 马德里竞技 （获奖）
▪ 2013 2012-13赛季西班牙国王杯冠军 马德里竞技 （获奖）
▪ 2012 欧洲超级杯冠军 马德里竞技 （获奖）
▪ 2012 2011-12赛季欧联杯冠军 马德里竞技 （获奖）
▪ 2011 2010-11赛季比利时足球甲级联赛冠军 亨克 （获奖）
▪ 2009 2008-09赛季比利时杯冠军 亨克 （获奖）
▪ 2020 萨莫拉奖 （获奖）
▪ 2018 世界杯金手套奖 （获奖）
▪ 2018 世界杯最佳阵容 （获奖）
▪ 2018 世界最佳门将 （获奖）
▪ 2018 2018年金球奖 （提名）
▪ 2018 FIFA年度最佳阵容 （提名）
▪ 2017 2016-17赛季英超金手套奖 （获奖）
▪ 2014 萨莫拉奖 （获奖）
▪ 2014 2013-14赛季欧冠最佳阵容 （获奖）
▪ 2014 2013-14赛季ESM（欧洲体育媒体联盟）最佳阵容 （获奖）
▪ 2014 比利时年度最佳运动员 （获奖）
▪ 2014 2014年金球奖 （提名）
▪ 2014 FIFA年度最佳阵容 （提名）
▪ 2013 萨莫拉奖（西甲年度最佳门将） （获奖）
▪ 2011 2010-2011赛季年度最佳比利时联赛守门员 （获奖）
▪ 2011 2010-2011赛季亨克年度最佳球员 （获奖）
▪ 2018 世界杯季军 （获奖）
库尔图瓦的技术扎实，场上表现始终稳健，鲜见低级失误，反应速度极快，接空中球和地面球无明显短板，打疯的时候更是表现无懈可击。唯一的缺点就是过于年轻，经验稍有欠缺。（百度新闻评）
库尔图瓦最重要的是稳定的顶级发挥，其职业生涯蒸蒸日上，但有些方面仍可以提高，比如指挥后防。库尔图瓦在场上很镇定。（埃德温·范德萨评）
库尔图瓦的能力非常全面，几乎没有什么是他做不了的。同时也是位令人称奇的球员，有这样的门将在身后也能让踢后卫的安心不少。（菲利佩评）
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